A la hora de resolver un problema de Dinámica, lo primero que hemos de hacer es ver cuales son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que haya no es más que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actúan sobre él. Veamos un ejemplo de como hacer esto.
Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.
En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuales son las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas serán:
• Los pesos de cada uno de los cuerpos, cuyo valor es el producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad y que están dirigidos hacia abajo,
• Las normales sobre cada uno de los cuerpos que están dirigidas hacia arriba,
• Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre él, FAB y sobre el cuerpo A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B realizará sobre A como reacción, FBA. Los sentidos de estas fuerzas son los que se muestran en el dibujo y
• Sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros.
Una vez hecho esto, representar los Diagramas de cuerpo libre es bastante sencillo. Sólo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actúen sobre él, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:
El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos. Como las fuerzas son vectores, habrá que aplicar la Segunda ley de Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es más que decidir que dirección será el eje x y cual el eje y cuales serán los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuales serán los ejes de coordenadas, sólo tenemos que escribir la ecuación F = múa para cada eje.
Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los ejes de coordenadas. En este caso es fácil hacer la elección, el eje x será paralelo al suelo y el eje y perpendicular a éste, tal como se muestra en el dibujo. Tomaremos como positivas la parte derecha del eje x y la parte superior del eje y
Vamos a aplicar ahora la Segunda ley de Newton en cada uno de los ejes.
En el eje y, las fuerzas que hay son la Normal y el Peso con sentido contrario. De acuerdo con el convenio que hemos decidido antes, la Normal será positiva y el Peso negativo.
Ahora bien, los dos cuerpos se van a mover por el suelo, por lo que no habrá movimiento en la dirección y. La aceleración en esa dirección debe ser, por tanto, cero.
Veamos que sucede en la dirección del eje x. Las fuerzas que hay son la fuerza F que aplicamos nosotros y la fuerza que el cuerpo B ejerce sobre A, FBA. La primera tendría sentido positivo y la segunda negativo, de acuerdo con los ejes que hemos elegido anteriormente. De esta manera, al aplicar la Segunda ley de Newton obtenemos:
F - FBA = MA•aA
Con esta ecuación no podemos calcular nada más por ahora, ya que desconocemos cuanto vale FBA. Vamos a ver entonces qué ecuaciones obtenemos para el cuerpo B.
Para el cuerpo B tomaremos el mismo sistema de ejes que para A y el mismo criterio de signos. En el eje y procedemos exactamente igual que para el cuerpo A ya que tenemos la normal y el peso solamente. Igual que entonces, la aceleración en el eje y será cero puesto que el cuerpo ni se levanta ni se hunde en el suelo.
Nos quedará entonces que:
NB = MB•g
o sea, que la normal que actúa sobre B es igual al peso de B.
En esta ecuación desconocemos tanto la fuerza como la aceleración del cuerpo B. Ahora bien, por la Tercera ley de Newton, las fuerzas FAB y FBA, tienen el mismo valor (aunque sentido contrario, tal como las hemos representado en los dibujos). Además, como los dos cuerpos se mueven conjuntamente, las aceleraciones tienen que ser las mismas ya que si no lo fueran, los cuerpos se separarían al moverse uno más rápido que el otro.
De esta forma, las ecuaciones para el eje x en los dos cuerpos quedan de la siguiente manera:
F - FBA = MA•a
FBA = MB•a
Con lo cual tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a y FBA). Si sustituimos en la primera ecuación el valor de FBA que nos da la segunda ecuación y despejamos la aceleración obtenemos:
a = F / (MA + MB)
Hemos obtenido así la aceleración con la que se mueven los dos cuerpos, que era lo que era lo que pretendíamos.
Solución de problemas de Dinámica
-¿Cómo solucionar un problema de dinámica? (Explicación paso a paso)
• Un cuerpo de 490 N se encuentra suspendido del techo por medio de dos cuerdas como se ve en la figura. Determina la tensión en cada una de ellas.
Para resolver este problema tomaremos como base dos fórmulas que tenemos para solución de éste tipo de problemas, las cuales son:
(Sen θa)(T1)+ (Sen θb) (T2)=W
(Seno del ángulo A x Tensión 1) + (Seno del ángulo B x Tensión 2)=Peso del cuerpo
(Cos θa)(T1)= (Cos θb) (T2)
(Coseno del ángulo A por la Tensión 1)=(Coseno del ángulo B por Tensión 2)
Usando ambas fórmulas y sustituyendo los datos que tenemos podemos hacer un sistema de ecuaciones para despejar las tensiones y poder determinarlas
(Sen 40°)(T1)+(Sen 50°)(T2)=490N
(Cos 40°)(T1)=(Cos 50°)(T2)
El sistema de ecuaciones quedaría así
.642T1+.766T2=490N
.766T1-.642T2=0
Multiplicando la primera ecuación por .642 y la segunda por .766 podemos eliminar T2 para encontrar el valor de la tensión 1
.412T1+.
.586T1 -.
--------------------------
.998T1=314.58N
314.58N
T1= ---------- T1=315.21N
.998
Una vez que tenemos T1 podemos despejarlo en la segunda ecuación, y nos queda
.586(315.21N) - .491T2=0
184.71N - .491T2=0
-184.71N
T2= ------------- T2=376.19N
-.491
De ésta manera pudimos sacar ambas tensiones, que valen 315.21N y 376.19N
• Sobre una barra uniforme de 5 m se coloca un peso de 60 N a 3 m del punto de apoyo como se ve en la figura. Calcular: a) el peso que se debe aplicar en el otro extremo para que la barra quede en equilibrio y b) la tensión que soporta el cable que sujeta la barra. Considere despreciable el peso de la barra.
Para resolver problemas de este tipo, donde hay 2 pesos colgando de una cuerda, debemos tomar en cuenta una fórmula, que es: F1(d1)=F2(d2), aquí separamos cada peso, y lo tomamos por separado.
Cuando nos piden otro peso, sólo despejamos una fuerza de la fórmula F1(d1)=F2(d2), por ejemplo en este ejemplo, para conseguir el peso que tiene signo de interrogación, y como nos dan exactamente cuánta distancia hay de la cuerda a cada peso, tenemos que F1= 60, d1= 3, F2= ? (es lo que queremos encontrar), d2= 2 entonces queda: 60(3) = ?(2), y despejamos ? queda ?=60(3)/2 o sea ?=180/2, ?=90; o sea que el otro peso es de 90 N.
Cuando nos piden la tensión de la cuerda que los soporta, sólo debemos de hacer un contrapeso, o sea, la cuerda que sostiene todo, ejerce fuerza hacia arriba, mientras que los pesos, van hacia abajo por la gravedad. Entonces usamos una fórmula que es T=W1+W2 donde T es la tensión de la cuerda, y W1 y W2 son los pesos ejercidos, entonces solo sustituimos, T= 60+90, y queda que T= 150 N
• Una viga uniforme de peso despreciable, soporta dos cargas como se ve en la figura. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción (R) que se ejerce para equilibrar la viga? , b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de reacción respecto al punto A?
En este tipo de problemas, pasa lo mismo que en el problema anterior, usas las mismas fórmulas, pero en lo único que cambia, es que no te da la distancia del punto de apoyo a las fuerzas, sólo te da la distancia total de la barra, entonces, si te piden la distancia del punto de apoyo a determinado peso, debes hacer esto: aquí se complica un poquito más, aquí, F1= 300, d1= x, F2= 400 y d2= 6-x, x es porque queremos encontrar la distancia, y para que sea equilibrado y tener la otra distancia, al tamaño total de la barra que es 6 le quitamos el pedazo que queremos sacar, así ya es más fácil, entonces queda: 300(x)= 400(6-x). Multiplicamos todo y queda 300x= 2400- 400x, despejamos x y queda 300x+ 400x= 2400, sigue 700x= 2400, y queda x= 2400/700, entonces x= 3.42, y si nos pide las 2 distancias, ya sólo le restamos a 6, 3.42 o sea d2= 6-3.42.
Si te piden la fuerza de reacción, no es más que sacar la fuerza hacia arriba que hay, y esto se hace con la fórmula de T= W1+ W2, y queda que T= 300+ 400, o sea que T= 700 N
